5) y = (5+6x)^2

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = (5+6x)^2 \) используем правило дифференцирования сложной функции.

1. Пусть \( u = 5+6x \), тогда \( y = u^2 \).
2. Производная внешней функции \( y = u^2 \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = 2u \).
3. Производная внутренней функции \( u = 5+6x \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = 6 \).
4. По правилу дифференцирования сложной функции: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).
5. Подставляем найденные производные: \( \frac{dy}{dx} = 2u \cdot 6 = 12u \).
6. Заменяем \( u \) обратно на \( 5+6x \): \( \frac{dy}{dx} = 12(5+6x) \).
7. Раскрываем скобки: \( \frac{dy}{dx} = 60 + 72x \).

Ответ: \( y' = 12(5+6x) \) или \( y' = 60 + 72x \).