4) y = sin (4x)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sin(4x) \) используем правило дифференцирования сложной функции.

1. Пусть \( u = 4x \), тогда \( y = \sin(u) \).
2. Производная внешней функции \( y = \sin(u) \) по \( u \) равна \( \frac{dy}{du} = \cos(u) \).
3. Производная внутренней функции \( u = 4x \) по \( x \) равна \( \frac{du}{dx} = 4 \).
4. По правилу дифференцирования сложной функции: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).
5. Подставляем найденные производные: \( \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot 4 = 4\cos(u) \).
6. Заменяем \( u \) обратно на \( 4x \): \( \frac{dy}{dx} = 4\cos(4x) \).

Ответ: \( y' = 4\cos(4x) \).