5. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад достают 2 шара. Найдите вероятность, что шары разного цвета

Решение:

Всего в урне \( 4 + 7 = 11 \) шаров.

Найдем общее число исходов — число способов выбрать 2 шара из 11. Это сочетания:

\[ C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 · 10}{2 · 1} = 55 \]

Найдем число благоприятных исходов — когда шары разного цвета. Это означает, что мы выбрали 1 белый шар и 1 черный шар.

Число способов выбрать 1 белый шар из 4: \( C_4^1 = 4 \).

Число способов выбрать 1 черный шар из 7: \( C_7^1 = 7 \).

Число благоприятных исходов равно произведению этих чисел:

\[ 4 · 7 = 28 \]

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P = \frac{28}{55} \]

Ответ: \( \frac{28}{55} \).