4. Решите систему уравнений \(\begin{cases}\) 3x - 2y + z = 10 \\ x + 5y - 2z = -15 \\ 2x - 2y - z = 3 \(\end{cases}\)

Решение:

Решим систему методом Гаусса.

Умножим третье уравнение на 1 и сложим с первым:

\[ (3x - 2y + z) + (2x - 2y - z) = 10 + 3 \]

\[ 5x - 4y = 13 \quad (*)\]

Умножим третье уравнение на 2 и сложим со вторым:

\[ (x + 5y - 2z) + 2(2x - 2y - z) = -15 + 2(3) \]

\[ x + 5y - 2z + 4x - 4y - 2z = -15 + 6 \]

\[ 5x + y - 4z = -9 \quad (\text{не получилось убрать z}) \]

Попробуем иначе:

Выразим \( z \) из первого уравнения: \( z = 10 - 3x + 2y \).

Подставим во второе уравнение:

\[ x + 5y - 2(10 - 3x + 2y) = -15 \]

\[ x + 5y - 20 + 6x - 4y = -15 \]

\[ 7x + y = 5 \quad ()\]

Подставим \( z \) в третье уравнение:

\[ 2x - 2y - (10 - 3x + 2y) = 3 \]

\[ 2x - 2y - 10 + 3x - 2y = 3 \]

\[ 5x - 4y = 13 \quad (*)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases} 7x + y = 5 \\ 5x - 4y = 13 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 5 - 7x \).

Подставим во второе уравнение:

\[ 5x - 4(5 - 7x) = 13 \]

\[ 5x - 20 + 28x = 13 \]

\[ 33x = 33 \]

\[ x = 1 \]

Теперь найдём \( y \):

\[ y = 5 - 7(1) = 5 - 7 = -2 \]

Найдем \( z \) из первого уравнения:

\[ z = 10 - 3x + 2y = 10 - 3(1) + 2(-2) = 10 - 3 - 4 = 3 \]

Проверим подстановкой в исходные уравнения:

1) \( 3(1) - 2(-2) + 3 = 3 + 4 + 3 = 10 \) (Верно)

2) \( 1 + 5(-2) - 2(3) = 1 - 10 - 6 = -15 \) (Верно)

3) \( 2(1) - 2(-2) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3 \) (Верно)

Ответ: \( x = 1, y = -2, z = 3 \).