5. В угол С величиной 71° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( OACB \).

Так как окружность вписана в угол и касается сторон \( CA \) и \( CB \) в точках \( A \) и \( B \) соответственно, то радиусы \( OA \) и \( OB \) перпендикулярны сторонам угла в точках касания. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 71^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 251^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 251^{\circ} \)

\( \angle AOB = 109^{\circ} \)

Ответ: 109