3. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что \( \angle AOB = 140^{\circ} \). Длина меньшей дуги АВ равна 98. Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \cdot \alpha}{180^{\circ}} \), где \( \alpha \) — центральный угол в градусах.

Длина меньшей дуги АВ равна 98. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, равен \( \angle AOB = 140^{\circ} \).

\( 98 = \frac{\pi R \cdot 140^{\circ}}{180^{\circ}} \)

\( 98 = \frac{7 \pi R}{9} \)

\( R = \frac{98 \cdot 9}{7 \pi} = \frac{14 \cdot 9}{\pi} = \frac{126}{\pi} \)

Длина большей дуги АВ равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги.

Центральный угол, опирающийся на большую дугу, равен \( 360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ} \).

Длина большей дуги \( L_{большая} \):

\( L_{большая} = \frac{\pi R \cdot 220^{\circ}}{180^{\circ}} \)

Подставим значение \( R = \frac{126}{\pi} \):

\( L_{большая} = \frac{\pi \cdot \frac{126}{\pi} \cdot 220^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{126 \cdot 220^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{126 \cdot 11}{9} = 14 \cdot 11 = 154 \)

Альтернативный способ: найти длину всей окружности и вычесть длину меньшей дуги.

Длина всей окружности \( L_{окружности} = 2 \pi R = 2 \pi \cdot \frac{126}{\pi} = 252 \).

Длина большей дуги = \( L_{окружности} - L_{меньшая} = 252 - 98 = 154 \).

Ответ: 154