5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, ВС = 3, \( \sin A = \frac{1}{6} \). Найдите АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Из условия \( \sin A = \frac{1}{6} \) и \( BC = 3 \), следовательно:

\[ \frac{1}{6} = \frac{3}{AB} \]

\[ AB = 3 \cdot 6 = 18 \]

Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 - BC^2 = 18^2 - 3^2 = 324 - 9 = 315 \]

\[ AC = \sqrt{315} = \sqrt{9 \cdot 35} = 3\sqrt{35} \]

В прямоугольном треугольнике ACH:

\[ \sin A = \frac{CH}{AC} \Rightarrow CH = AC \cdot \sin A = 3\sqrt{35} \cdot \frac{1}{6} = \frac{\sqrt{35}}{2} \]

Теперь найдем AH, используя теорему Пифагора в треугольнике ACH:

\[ AH^2 = AC^2 - CH^2 = (3\sqrt{35})^2 - \left(\frac{\sqrt{35}}{2}\right)^2 \]

\[ AH^2 = 315 - \frac{35}{4} = \frac{1260 - 35}{4} = \frac{1225}{4} \]

\[ AH = \sqrt{\frac{1225}{4}} = \frac{35}{2} = 17.5 \]

Ответ: 17.5.