5. Упростите выражение \(\left(\frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1}\right) : \frac{3b+1}{2b-2}\)

Решение:

Упростим данное выражение шаг за шагом.

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю \( (b-1)(b+1) \):
• \(\frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1} = \frac{(b+1)(b+1)}{(b-1)(b+1)} - \frac{b(b-1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{b^2+2b+1 - (b^2-b)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b^2+2b+1-b^2+b}{(b-1)(b+1)} = \frac{3b+1}{(b-1)(b+1)} \)
2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
• \(\frac{3b+1}{(b-1)(b+1)} : \frac{3b+1}{2b-2} = \frac{3b+1}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2b-2}{3b+1} \)
3. Сократим \( 3b+1 \):
• \(\frac{1}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2b-2}{1} \)
4. Вынесем общий множитель \( 2 \) из \( 2b-2 \): \( 2b-2 = 2(b-1) \).
5. Подставим обратно:
• \(\frac{1}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2(b-1)}{1} \)
6. Сократим \( b-1 \):
• \(\frac{1}{b+1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{b+1} \)

Ответ: \(\frac{2}{b+1}\).