5. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

Решение:

Пусть \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии, \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель.

Нам дано: \( S_4 = 45 \) и \( q = 2 \). Нужно найти \( S_8 \).

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Используем эту формулу для \( S_4 \):

\[ 45 = b_1 \frac{2^4 - 1}{2 - 1} \]

\[ 45 = b_1 \frac{16 - 1}{1} \]

\[ 45 = b_1 \cdot 15 \]

Найдем \( b_1 \):

\[ b_1 = \frac{45}{15} = 3 \]

Теперь, зная \( b_1 = 3 \) и \( q = 2 \), найдем \( S_8 \):

\[ S_8 = b_1 \frac{q^8 - 1}{q - 1} \]

\[ S_8 = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} \]

\[ S_8 = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} \]

\[ S_8 = 3 \cdot 255 \]

\[ S_8 = 765 \]

Ответ: 765