5. Середина ребра куба со стороной 1,7 является центром шара радиуса 0,85. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S/π.

Решение:

Куб имеет 6 граней. Середина ребра куба находится на одинаковом расстоянии от трех граней, к которым это ребро примыкает, и от трех граней, противоположных этим.

Центр шара находится в середине ребра куба. Радиус шара \( R = 0.85 \). Сторона куба \( a = 1.7 \).

Поскольку \( R = 0.85 = 1.7 / 2 = a / 2 \), центр шара находится на расстоянии \( a/2 \) от трех граней, примыкающих к ребру, и на расстоянии \( a/2 \) от трех граней, противоположных этим.

Это означает, что шар касается трех граней куба в их центрах, если бы центр шара находился в центре куба. Но центр шара находится в середине ребра.

Рассмотрим одну из граней куба. Центр шара находится на расстоянии \( a/2 = 0.85 \) от этой грани. Так как радиус шара \( R = 0.85 \), то шар касается этой грани.

Шар будет касаться трех граней, к которым примыкает ребро, в серединах этих граней.

Шар будет пересекать три другие грани, но какая часть поверхности шара находится внутри куба?

Вся поверхность шара, касающаяся граней, находится внутри куба. Если центр шара находится в середине ребра, то шар касается трех граней, к которым примыкает ребро. Грани, противоположные этим, находятся на расстоянии \( a \) от центра шара (если центр шара в середине ребра, то до грани, параллельной ребру и проходящей через противоположную вершину, расстояние равно \( a \), а до грани, которой принадлежит ребро, расстояние равно \( a/2 \)).

Рассмотрим одну грань куба. Центр шара находится на ребре. Расстояние от центра шара до этой грани равно \( a/2 \). Так как \( R = a/2 \), шар касается этой грани.

Симметрия задачи такова, что часть поверхности шара, лежащая внутри куба, будет равна доле сферы, которая находится внутри куба. Центр шара расположен на ребре.

Представим, что центр шара — это вершина координат (0,0,0). Ребро идет вдоль оси X от (0,0,0) до (a,0,0). Центр шара в (0,0,0). Грани куба проходят через плоскости x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a. Если центр шара в середине ребра, например, в точке \( (a/2, 0, 0) \).

В этом случае шар будет пересекать грани \( x=0 \) (на расстоянии \( a/2 \) от центра) и \( x=a \) (на расстоянии \( a/2 \) от центра).

Если центр шара находится в середине ребра, то к нему примыкают 4 грани (две соседние грани и две грани, через которые проходит ребро).

Рассмотрим случай, когда центр шара находится в центре куба. Тогда каждая грань куба находится на расстоянии \( a/2 \) от центра. Если \( R = a/2 \), то шар касается каждой грани.

В нашем случае центр шара — середина ребра. Ребро принадлежит двум граням. Еще две грани перпендикулярны к ребру и проходят через него.

Из-за симметрии, шар будет касаться трех граней, примыкающих к ребру. Эти три грани образуют трехгранный угол. Каждая из этих граней находится на расстоянии \( a/2 \) от центра шара. Так как \( R = a/2 \), шар касается этих трех граней.

Вся поверхность шара, которая находится внутри куба, касается этих трех граней. Таким образом, три четверти поверхности шара находятся внутри куба, так как шар касается трех граней, и каждая грань находится на расстоянии \( R \) от центра.

Площадь поверхности сферы равна \( S_{сферы} = 4\pi R^2 \).

Часть поверхности шара, лежащая внутри куба, будет равна поверхности, касающейся трех граней. То есть \( 3/4 \) от полной поверхности шара.

\( S = \frac{3}{4} \cdot 4\pi R^2 = 3\pi R^2 \)

Подставим значение \( R = 0.85 \):

\( S = 3\pi (0.85)^2 = 3\pi (0.7225) \)

\( S = 2.1675 \pi \)

В ответе нужно записать \( S/\pi \):

\( \frac{S}{\pi} = \frac{2.1675 \pi}{\pi} = 2.1675 \)

Примечание: Если бы центр шара был в центре куба, то \( R = a/2 \), и вся поверхность шара находилась бы внутри куба, если \( R ≤ a/2 \).

Рассмотрим другую интерпретацию: середина ребра куба. К этой точке сходятся 4 грани: две грани, которым принадлежит ребро, и две грани, перпендикулярные к ребру.

Если центр шара находится в середине ребра, то три грани, к которым примыкает это ребро (две грани, через которые проходит ребро, и одна грань, которой принадлежит ребро), находятся на расстоянии \( a/2 \) от центра. Так как \( R = a/2 \), шар касается этих трех граней.

Следовательно, 3/4 сферы лежат внутри куба.

\( S = \frac{3}{4} \cdot 4\pi R^2 = 3\pi R^2 \)

\( R = 0.85 \)

\( R^2 = 0.85^2 = 0.7225 \)

\( S = 3 \pi \cdot 0.7225 = 2.1675 \pi \)

\( \frac{S}{\pi} = 2.1675 \)

Ответ: 2.1675