5. Решите уравнение: \(\sqrt{17+2x-3x^2} = x+1\)

Решение:

Для решения уравнения \(\sqrt{17+2x-3x^2} = x+1\) необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(17+2x-3x^2 ≥ 0\).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной (так как корень неотрицателен): \(x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1\).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 17+2x-3x^2 = (x+1)^2 \]

\[ 17+2x-3x^2 = x^2+2x+1 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 17+2x-3x^2 - x^2 - 2x - 1 = 0 \]

\[ -4x^2 + 16 = 0 \]

\[ 4x^2 = 16 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = ± 2 \]

Теперь проверим полученные корни на соответствие условиям:

• Для \(x=2\):
• Проверим первое условие: \(17+2(2)-3(2^2) = 17+4-12 = 9 ≥ 0\) — условие выполняется.
• Проверим второе условие: \(2+1 = 3 ≥ 0\) — условие выполняется.
• Для \(x=-2\):
• Проверим первое условие: \(17+2(-2)-3(-2)^2 = 17-4-12 = 1 ≥ 0\) — условие выполняется.
• Проверим второе условие: \(-2+1 = -1 ≥ 0\) — условие не выполняется.

Таким образом, посторонним корнем является \(x=-2\).

Ответ: \(x=2\).