3. Упростите выражение: \(\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha} + \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha\)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

1. Выразим числитель: \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\).
2. Тогда числитель \(1 - \sin^2\alpha = 1 - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha\).
3. Знаменатель \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\).
4. Подставим полученные выражения в дробь: \(\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \operatorname{ctg}^2\alpha\).
5. Учтём, что \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\) (при условии, что \(\alpha \neq \frac{\pi k}{2}\), где \(k\) — целое число).
6. Сложим полученные результаты: \(\operatorname{ctg}^2\alpha + 1\).
7. Используем основное тригонометрическое тождество \(1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} = \operatorname{cosec}^2\alpha\).

Ответ: \(\operatorname{ctg}^2\alpha + 1\) или \(\frac{1}{\sin^2\alpha}\) или \(\operatorname{cosec}^2\alpha\).