4. Найдите корни уравнения: \(9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0\)

Решение:

Заменим \(9^x\) на \((3^2)^x = (3^x)^2\). Пусть \(y = 3^x\). Тогда уравнение примет вид:

\[ (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 = 0 \]

Подставим \(y\):

\[ y^2 - 10y + 9 = 0 \]

1. Решим квадратное уравнение относительно \(y\).
2. Найдём дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\).
3. Найдём корни \(y\): \(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2} = 9\) и \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2} = 1\).
4. Теперь найдём \(x\), вернувшись к замене \(y = 3^x\):
• Случай 1: \(3^x = 9\). Так как \(9 = 3^2\), то \(3^x = 3^2\), следовательно, \(x = 2\).
• Случай 2: \(3^x = 1\). Так как \(1 = 3^0\), то \(3^x = 3^0\), следовательно, \(x = 0\).

Ответ: \(x=0\), \(x=2\).