5. Решите уравнение 9^x - 8 \(\cdot\) 3^x - 9 = 0

Решение:

Данное уравнение является показательным. Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \). Сделаем замену переменной: пусть \( t = 3^x \). Поскольку \( 3^x \) всегда больше нуля, то \( t > 0 \).

Уравнение примет вид:

\[ t^2 - 8t - 9 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \):

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \)
2. Найдём корни \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ t_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ t_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = 3^x \):

• Случай 1: \( t = 9 \). Это означает \( 3^x = 9 \). Так как \( 9 = 3^2 \), то \( 3^x = 3^2 \), откуда \( x = 2 \).
• Случай 2: \( t = -1 \). Это означает \( 3^x = -1 \). Показательное уравнение \( a^x = b \) при \( a > 0 \) и \( b < 0 \) не имеет решений.

Проверим корень \( x = 2 \) подстановкой в исходное уравнение:

\[ 9^2 - 8 \cdot 3^2 - 9 = 81 - 8 \cdot 9 - 9 = 81 - 72 - 9 = 9 - 9 = 0 \]

Уравнение выполняется.

Ответ: \( x = 2 \).