4. Решить уравнение x - 6 = √2x + 12

Решение:

Данное уравнение содержит квадратный корень. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

\[ 2x + 12 \ge 0 \]

\[ 2x \ge -12 \]

\[ x \ge -6 \]

Также, поскольку правая часть уравнения равна квадратному корню (который всегда неотрицателен), левая часть также должна быть неотрицательной:

\[ x - 6 \ge 0 \]

\[ x \ge 6 \]

Объединяя условия \( x \ge -6 \) и \( x \ge 6 \), получаем, что \( x \ge 6 \).

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (x - 6)^2 = (\sqrt{2x + 12})^2 \]

\[ x^2 - 12x + 36 = 2x + 12 \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 12x - 2x + 36 - 12 = 0 \]

\[ x^2 - 14x + 24 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]

\[ x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( x \ge 6 \).

• Корень \( x_1 = 12 \) удовлетворяет условию \( x \ge 6 \).
• Корень \( x_2 = 2 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 6 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: \( x = 12 \).