5. Решите неравенства: a) log0,5(1-x) >- 1; б) (log3x - 2)√x²-4 ≤ 0;

Решение:

1. Задание а)
   1. Перепишем неравенство, учитывая, что основание логарифма (0.5) меньше 1, поэтому при снятии логарифма знак неравенства меняется:
      \[ 1 - x < (0.5)^{-1} \]
   2. Вычислим значение степени:
      \[ 1 - x < 2 \]
   3. Решим неравенство:
      \[ -x < 2 - 1 \]
\[ -x < 1 \]
\[ x > -1 \]
   4. Учтем условие существования логарифма:
      \[ 1 - x > 0 \]
\[ x < 1 \]
   5. Объединим условия:
      \[ -1 < x < 1 \]
2. Задание б)
   1. Учтем условия существования:
      \[ \log_3 x \] требует x > 0.
      \[ \sqrt{x^2-4} \] требует x^2 - 4 \(\ge\) 0, что означает x \(\le\) -2 или x \(\ge\) 2.
   2. Объединяя условия, получаем: x \(\ge\) 2.
   3. Рассмотрим неравенство:
      \[ (\log_3 x - 2) \sqrt{x^2-4} \le 0 \]
   4. Возможны два случая:
      1. Случай 1:
         \[ \log_3 x - 2 \le 0 \] и \(\sqrt{x^2-4}\) \(\ge\) 0.
         \(\log\)_3 x \(\le\) 2 \(\implies\) x \(\le\) 3^2 \(\implies\) x \(\le\) 9.
         Так как \(\sqrt{x^2-4}\) \(\ge\) 0 всегда выполняется при x \(\ge\) 2, то решением этого случая будет 2 \(\le\) x \(\le\) 9.
      2. Случай 2:
         \[ \log_3 x - 2 \ge 0 \] и \(\sqrt{x^2-4}\) \(\le\) 0.
         \(\log\)_3 x \(\ge\) 2 \(\implies\) x \(\ge\) 3^2 \(\implies\) x \(\ge\) 9.
         \(\sqrt{x^2-4}\) \(\le\) 0 возможно только если \(\sqrt{x^2-4}\) = 0, что означает x^2-4=0, то есть x=2 или x=-2. Но это противоречит условию x \(\ge\) 9.
   5. Объединим решения:
      Единственное решение получается из Случая 1: 2 \(\le\) x \(\le\) 9.

Ответ: а) (-1; 1); б) [2; 9]