5. Решить ур-е: log₂(x-2) + log₂(x-3) = 1

Решение:

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:
• \( x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)
• \( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
• Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x > 3 \).
2. Применим свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):
3. \( \log_2((x-2)(x-3)) = 1 \).
4. Переведём логарифмическое уравнение в показательное, используя определение логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \):
5. \( (x-2)(x-3) = 2^1 \).
6. \( (x-2)(x-3) = 2 \).
7. Раскроем скобки: \( x^2 - 3x - 2x + 6 = 2 \).
8. \( x^2 - 5x + 6 = 2 \).
9. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 5x + 6 - 2 = 0 \).
10. \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).
11. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: сумма корней равна 5, произведение — 4. Корнями являются \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 4 \).
12. Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( x > 3 \):
• \( x = 1 \) не удовлетворяет условию \( x > 3 \).
• \( x = 4 \) удовлетворяет условию \( x > 3 \).
13. Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 4 \).

Ответ: \( x = 4 \).