3. Решить ур-е: a) (1/5)^2-3x = 25 б) \(\sqrt{1-x^2} = x+1\)

Решение:

1. а) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x} = 25 \)
• Перепишем основание \( \frac{1}{5} \) как \( 5^{-1} \) и число \( 25 \) как \( 5^2 \): \( (5^{-1})^{2-3x} = 5^2 \).
• Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 5^{-(2-3x)} = 5^2 \).
• \( 5^{-2+3x} = 5^2 \).
• Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \( -2 + 3x = 2 \).
• Решаем линейное уравнение: \( 3x = 2 + 2 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \).
2. б) \(\sqrt{1-x^2} = x+1\)
• Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 1-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x \leq 1 \).
• Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню: \( x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \).
• Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( -1 \leq x \leq 1 \).
• Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{1-x^2})^2 = (x+1)^2 \).
• \( 1-x^2 = x^2 + 2x + 1 \).
• Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 2x + 1 - 1 + x^2 = 0 \).
• \( 2x^2 + 2x = 0 \).
• Вынесем общий множитель \( 2x \): \( 2x(x+1) = 0 \).
• Получаем два возможных решения: \( 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
• Проверяем полученные решения на соответствие ОДЗ:
• \( x = 0 \) входит в ОДЗ \( [-1; 1] \).
• \( x = -1 \) входит в ОДЗ \( [-1; 1] \).
• Проверим оба корня в исходном уравнении:
• При \( x = 0 \): \( \sqrt{1-0^2} = 0+1 \Rightarrow \sqrt{1} = 1 \Rightarrow 1 = 1 \) (верно).
• При \( x = -1 \): \( \sqrt{1-(-1)^2} = -1+1 \Rightarrow \sqrt{1-1} = 0 \Rightarrow \sqrt{0} = 0 \Rightarrow 0 = 0 \) (верно).

Ответ: а) \( x = \frac{4}{3} \); б) \( x = 0, x = -1 \).