№ 5. Решить систему уравнений: { 2y + x =1; x²+xy+2y² =1.

Решение:

Решим систему методом подстановки.

1. Выразим $$x$$ из первого уравнения:
• $$2y + x = 1$$
• $$x = 1 - 2y$$
2. Подставим полученное выражение для $$x$$ во второе уравнение:
• $$(1 - 2y)^2 + (1 - 2y)y + 2y^2 = 1$$
3. Раскроем скобки и упростим уравнение:
• $$(1 - 4y + 4y^2) + (y - 2y^2) + 2y^2 = 1$$
• $$1 - 4y + 4y^2 + y - 2y^2 + 2y^2 = 1$$
• $$4y^2 - 3y + 1 = 1$$
• $$4y^2 - 3y = 0$$
4. Решим полученное квадратное уравнение относительно $$y$$:
• Вынесем общий множитель $$y$$: $$y(4y - 3) = 0$$.
• Это дает два возможных значения для $$y$$:
• $$y_1 = 0$$
• $$4y - 3 = 0 \implies 4y = 3 \implies y_2 = \frac{3}{4}$$
5. Найдем соответствующие значения $$x$$, подставив значения $$y$$ в уравнение $$x = 1 - 2y$$:
• При $$y_1 = 0$$:
• $$x_1 = 1 - 2(0) = 1 - 0 = 1$$.
• Получена первая пара решений: (1; 0).
• При $$y_2 = \frac{3}{4}$$:
• $$x_2 = 1 - 2(\frac{3}{4}) = 1 - \frac{6}{4} = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$.
• Получена вторая пара решений: $$(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$$.

• Для (1; 0): $$2(0) + 1 = 1$$ (верно); $$1^2 + (1)(0) + 2(0)^2 = 1 + 0 + 0 = 1$$ (верно).
• Для $$(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$$: $$2(\frac{3}{4}) + (-\frac{1}{2}) = \frac{6}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ (верно); $$(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})(\frac{3}{4}) + 2(\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} + 2(\frac{9}{16}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} + \frac{18}{16} = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} + \frac{9}{8} = \frac{2}{8} - \frac{3}{8} + \frac{9}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ (верно).

Ответ: (1; 0), $$(-\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$$