№2. Решите уравнение: а) х³-81x³ =0; б) 3x⁴ -8x² +5=0.

Решение:

• а) $$x^3 - 81x^3 = 0$$
1. Вынесем общий множитель $$x^3$$ за скобки: $$x^3 (1 - 81) = 0$$.
2. Упростим выражение в скобках: $$x^3 (-80) = 0$$.
3. Для того чтобы произведение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Так как $$-80
   e 0$$, то $$x^3 = 0$$.
4. Отсюда следует, что $$x = 0$$.
• б) $$3x^4 - 8x^2 + 5 = 0$$
1. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $$t = x^2$$. Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$t \ge 0$$.
2. Уравнение примет вид: $$3t^2 - 8t + 5 = 0$$.
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно $$t$$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(5) = 64 - 60 = 4$$.
4. $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$.
5. $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.
6. Оба значения $$t = \frac{5}{3}$$ и $$t = 1$$ удовлетворяют условию $$t \ge 0$$.
7. Теперь вернемся к замене $$t = x^2$$:
• $$x^2 = \frac{5}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$$.
• $$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$.

Ответ: а) $$x = 0$$; б) $$x = \pm 1$$, $$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$$