5. По рис. 4 заполните пропуски: а) … = √(x · y); б) AB = √(x · …); в) BC = √(… · (x + y)); г) (x + y)² = …; д) ΔABD ∼ Δ…; е) S_ABD / S_BDC = … .

Так как BD — высота прямоугольного треугольника ABC, а D — основание высоты, используются теоремы о высоте к гипотенузе и подобии треугольников.

1. Проекция высоты: \(BD = \sqrt{x \cdot y}\).
2. Для катета AB: \(AB^2 = AC \cdot AD = (x+y)x\), поэтому \(AB = \sqrt{x(x+y)}\).
3. Для катета BC: \(BC^2 = AC \cdot DC = (x+y)y\), поэтому \(BC = \sqrt{y(x+y)}\).
4. Гипотенуза \(AC=x+y\), следовательно \((x+y)^2=AB^2+BC^2\).
5. \(\triangle ABD \sim \triangle BDC\).
6. Треугольники имеют общую высоту BD, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{BDC}}=\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{x}{y}\).

Ответ: а) BD; б) x(x+y); в) y; г) AB² + BC²; д) BDC; е) x/y.