5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите меньший катет гипотенузу?

Решение:

• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
• Если один угол равен 60°, то второй острый угол равен:
• \[ 90° - 60° = 30° \]
• В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы.
• Пусть c — гипотенуза, а a — меньший катет (противолежащий углу 30°).
• Тогда a = c/2, или c = 2a.
• По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см:
• \[ c + a = 36 \text{ см} \]
• Подставим значение c через a:
• \[ 2a + a = 36 \text{ см} \]
• \[ 3a = 36 \text{ см} \]
• Найдем длину меньшего катета a:
• \[ a = \frac{36}{3} \]
• \[ a = 12 \text{ см} \]
• Теперь найдем гипотенузу c:
• \[ c = 2a = 2 \times 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \]
• Проверим условие: c + a = 24 + 12 = 36 см. Условие выполнено.

Ответ: Меньший катет равен 12 см, гипотенуза равна 24 см.