5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 48 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90°\), один из углов равен \(30°\), \(AB + \text{меньший катет} = 48\) см.

Найти: гипотенузу \(AB\).

1. Пусть \(\angle A = 30°\). Тогда \(\angle B = 180° - 90° - 30° = 60°\).
2. Меньший катет лежит против меньшего угла, значит, меньший катет — это \(BC\) (противолежащий углу \(30°\)).
3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \(30°\), равен половине гипотенузы.
4. \(BC = \frac{1}{2} AB \).
5. По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна \(48\) см: \(AB + BC = 48\).
6. Подставим выражение для \(BC\) из пункта 4 в уравнение из пункта 5: \(AB + \frac{1}{2} AB = 48\).
7. Приведём подобные члены: \(\frac{3}{2} AB = 48\).
8. Найдем \(AB\): \(AB = 48 \times \frac{2}{3} = \frac{96}{3} = 32\) см.
9. Проверим: если \(AB = 32\) см, то \(BC = \frac{1}{2} \times 32 = 16\) см. \(AB + BC = 32 + 16 = 48\) см. Условие выполняется.

Ответ: Гипотенуза \(AB = 32\) см.