4. Дан треугольник АВС, где угол С = 90°. Внешний угол при вершине В равен 150°, сторона АС равна 10 см. Чему равна длина гипотенузы?

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90°\), внешний угол при вершине \(B = 150°\), \(AC = 10\) см.

Найти: гипотенузу \(AB\).

1. Внешний угол при вершине \(B\) и внутренний угол \(\angle ABC\) смежные, их сумма равна \(180°\).
2. \(\angle ABC = 180° - 150° = 30°\).
3. В \(\triangle ABC\) \(\angle C = 90°\), \(\angle ABC = 30°\).
4. Сумма углов в \(\triangle ABC\): \(\angle BAC = 180° - 90° - 30° = 60°\).
5. Катет \(AC\) лежит против угла \(\angle ABC = 30°\).
6. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \(30°\), равен половине гипотенузы.
7. \(AC = \frac{1}{2} AB \).
8. \(10 \text{ см} = \frac{1}{2} AB \).
9. \(AB = 10 \text{ см} \times 2 = 20 \text{ см}\).

Ответ: Гипотенуза \(AB = 20\) см.