5. Небольшое тело массой \( m = 0,50 \) кг висит на невесомой нерастяжимой нити длиной \( l = 40 \) см, касаясь бруска массой \( M = 1,5 \) кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол \( \alpha = 60^{\circ} \) с вертикалью (см. рис.), и отпустили. Чему равен коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью, если в результате абсолютно упругого удара брусок сместился на расстояние \( s = 20 \) см?

Решение:

1. Найдем скорость тела перед ударом (по закону сохранения энергии).

Начальная высота подъема тела над положением равновесия:

\( h = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha) \)

\( h = 0,4 \text{ м} \cdot (1 - \cos 60^{\circ}) = 0,4 \cdot (1 - 0,5) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \text{ м} \)

Кинетическая энергия после падения равна потенциальной энергии, с которой тело было отпущено:

\( \frac{mv^2}{2} = mgh \)

\( v^2 = 2gh \)

\( v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 · 0,2 \text{ м}} = \sqrt{4} = 2 \text{ м/с} \)

2. Найдем скорость бруска после удара (по закону сохранения импульса и энергии для абсолютно упругого удара).

Так как удар абсолютно упругий, тела меняются скоростями:

\( V_{M} = v = 2 \text{ м/с} \)

3. Найдем силу трения.

Работа силы трения равна изменению кинетической энергии бруска:

\( A_{тр} = \Delta E_{k} \)

\( F_{тр} · s = \frac{MV_{M}^2}{2} - 0 \) (брусок останавливается)

\( F_{тр} = \frac{MV_{M}^2}{2s} \)

\( s = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \)

\( F_{тр} = \frac{1,5 \text{ кг} · (2 \text{ м/с})^2}{2 · 0,2 \text{ м}} = \frac{1,5 · 4}{0,4} = \frac{6}{0,4} = 15 \text{ Н} \)

4. Найдем коэффициент трения.

Сила трения скольжения связана с коэффициентом трения \( \mu \) и силой нормальной реакции \( N \) следующим образом:

\( F_{тр} = \mu N \)

На брусок действует сила тяжести \( Mg \) и сила нормальной реакции \( N \). На гладкой горизонтальной поверхности \( N = Mg \).

\( \mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{F_{тр}}{Mg} \)

\( \mu = \frac{15 \text{ Н}}{1,5 \text{ кг} · 10 \text{ м/с}^2} = \frac{15}{15} = 1 \)

Ответ: 1.