5. Найдите все функции, которые имеют одну и водную: f(x) = x + 5.

Решение:

Под «водной» в данном контексте, вероятно, подразумевается производная. Задание состоит в том, чтобы найти все функции \( F(x) \), производная которых \( F'(x) \) равна \( f(x) = x + 5 \).

Для этого нужно проинтегрировать функцию \( f(x) = x + 5 \).

1. Интегрируем \( x \): \( \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \).
2. Интегрируем \( 5 \): \( \int 5 dx = 5x + C_2 \).
3. Объединяем результаты интегрирования: \( F(x) = \int (x + 5) dx = \frac{x^2}{2} + 5x + C \), где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная постоянная.

Таким образом, все функции, имеющие производную \( f(x) = x + 5 \), имеют вид \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 5x + C \).

Ответ: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + 5x + C \), где \( C \) — любое действительное число.