5) Найдите \( \sin 2\alpha \), если \( \cos \alpha = -0,8 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Решение:

1. По условию \( \cos \alpha = -0,8 \).
2. Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), угол \( \alpha \) находится во второй четверти, где синус положителен.
3. Найдём \( \sin \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).
4. \( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 \).
5. \( \sin \alpha = \sqrt{0,36} = 0,6 \) (так как \( \alpha \) во второй четверти, \( \sin \alpha > 0 \)).
6. Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
7. Подставим значения: \( \sin 2\alpha = 2 \cdot 0,6 \cdot (-0,8) = 1,2 \cdot (-0,8) = -0,96 \).

Ответ: -0,96.