5. Найдите первообразную функции f(x) = x² – 5, график которой проходит через точку (3; 4).

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x^2 - 5 \), проинтегрируем её:

\[ F(x) = \int (x^2 - 5) dx = \frac{x^3}{3} - 5x + C \]

Теперь найдём значение константы \( C \), используя условие, что график проходит через точку \( (3; 4) \). Подставим \( x=3 \) и \( F(x)=4 \):

\[ 4 = \frac{3^3}{3} - 5 \cdot 3 + C \]

\( 4 = \frac{27}{3} - 15 + C \)

\( 4 = 9 - 15 + C \)

\( 4 = -6 + C \)

\( C = 4 + 6 \)

\( C = 10 \)

Следовательно, первообразная имеет вид:

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x + 10 \]

Ответ: \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x + 10 \).