1. Решите неравенство \(\frac{2x + 8x^2}{2x - 1} < 0\)

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{2x + 8x^2}{2x - 1} < 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель: \( 2x + 8x^2 = 0 \) \( 2x(1 + 4x) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( 1 + 4x = 0 → x_2 = -1/4 \)

Знаменатель: \( 2x - 1 = 0 → x_3 = 1/2 \)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале:

\( (-\infty, -1/4) \) : Возьмём \( x = -1 \). \(\frac{2(-1) + 8(-1)^2}{2(-1) - 1} = \frac{-2 + 8}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2 < 0 \)

\( (-1/4, 0) \) : Возьмём \( x = -0.1 \). \(\frac{2(-0.1) + 8(-0.1)^2}{2(-0.1) - 1} = \frac{-0.2 + 8(0.01)}{-0.2 - 1} = \frac{-0.2 + 0.08}{-1.2} = \frac{-0.12}{-1.2} = 0.1 > 0 \)

\( (0, 1/2) \) : Возьмём \( x = 0.1 \). \(\frac{2(0.1) + 8(0.1)^2}{2(0.1) - 1} = \frac{0.2 + 8(0.01)}{0.2 - 1} = \frac{0.2 + 0.08}{-0.8} = \frac{0.28}{-0.8} < 0 \)

\( (1/2, \infty) \) : Возьмём \( x = 1 \). \(\frac{2(1) + 8(1)^2}{2(1) - 1} = \frac{2 + 8}{2 - 1} = \frac{10}{1} = 10 > 0 \)

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это \( (-\infty, -1/4) \) и \( (0, 1/2) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1/4) \cup (0, 1/2) \).