5. Найдите область определения функции: \(y = \log_5 \frac{24-6x^2}{2x+10}\)

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \log_5 \frac{24-6x^2}{2x+10} \) необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля.

\( \frac{24-6x^2}{2x+10} > 0 \)

Разделим числитель и знаменатель на 2:

\( \frac{12-3x^2}{x+5} > 0 \)

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ 12 - 3x^2 = 3(4 - x^2) = 3(2-x)(2+x) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{3(2-x)(2+x)}{x+5} > 0 \]

Разделим обе части на 3:

\[ \frac{(2-x)(2+x)}{x+5} > 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

\( 2-x = 0 : x = 2 \)

\( 2+x = 0 : x = -2 \)

\( x+5 = 0 : x = -5 \)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражений на интервалах:

Интервал \( (-∞, -5) \): Возьмем \( x = -6 \). \( \frac{(2-(-6))(2+(-6))}{-6+5} = \frac{(8)(-4)}{-1} = \frac{-32}{-1} = 32 > 0 \). Знак "+".

Интервал \( (-5, -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( \frac{(2-(-3))(2+(-3))}{-3+5} = \frac{(5)(-1)}{2} = \frac{-5}{2} < 0 \). Знак "-".

Интервал \( (-2, 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{(2-0)(2+0)}{0+5} = \frac{(2)(2)}{5} = \frac{4}{5} > 0 \). Знак "+".

Интервал \( (2, +∞) \): Возьмем \( x = 3 \). \( \frac{(2-3)(2+3)}{3+5} = \frac{(-1)(5)}{8} = \frac{-5}{8} < 0 \). Знак "-".

Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. Следовательно, область определения функции:

\[ x ∈ (-∞, -5) ∪ (-2, 2) \]

Ответ: \( (-∞, -5) ∪ (-2, 2) \).