5. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковая грань которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим апофему пирамиды. Апофема - это высота боковой грани. В условии сказано, что боковая грань равна 12 см. Это означает, что высота боковой грани (апофема, denoted by 'a') равна 12 см.
2. Шаг 2: Находим высоту пирамиды (h). Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности в основание (r), апофема является гипотенузой, а высота - катетом, противолежащим углу 60°.
   \( h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \).
3. Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности в основание (r).
   \( r = a \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \).
4. Шаг 4: Находим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды. В основании лежит квадрат. Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата.
   \( r = \frac{s}{2} \), где s - сторона квадрата.
   \( 6 \text{ см} = \frac{s}{2} \)
   \( s = 12 \text{ см} \).
5. Шаг 5: Находим площадь основания пирамиды.
   \( S_{осн} = s^2 = (12 \text{ см})^2 = 144 \text{ см}^2 \).
6. Шаг 6: Находим объем пирамиды по формуле: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \).
   \( V = \frac{1}{3} \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} \)
   \( V = 48 \text{ см}^2 \cdot 6\sqrt{3} \text{ см} \)
   \( V = 288\sqrt{3} \text{ см}^3 \).

Ответ: 288√3 см³