5. На рисунке хорда МК пересекает диаметр АВ в точке F, MPF =90, ∠KTF = 90, ∠MFP = 30. , МК=22 см. Найдите сумму длин отрезков МР и КТ.

Решение:

Дано: Хорда МК пересекает диаметр АВ в точке F. \( \angle MPF = 90^{\circ} \), \( \angle KTF = 90^{\circ} \), \( \angle MFP = 30^{\circ} \), \( MK = 22 \) см.

Найти: \( MP + KT \).

На рисунке изображен диаметр AB и хорда MK, пересекающиеся в точке F. Угол \( \angle MFP = 30^{\circ} \). Также даны прямые углы \( \angle MPF = 90^{\circ} \) и \( \angle KTF = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MFP. \( \angle MFP = 30^{\circ} \). Так как \( \angle MPF = 90^{\circ} \), то \( \angle PMF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике MFP:

\( MP = MK \cdot \sin(\angle PMF) \). (Это неверно, MP это катет, MK гипотенуза в другом треугольнике).

В прямоугольном треугольнике MFP:

\( MP = MF \cdot \cos(30^{\circ}) \) и \( PF = MF \cdot \sin(30^{\circ}) \).

\( MF = MK \cdot \cos(\angle PMF) = MK \cdot \cos(60^{\circ}) = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11 \) см.

\( MP = MF \cdot \cos(30^{\circ}) = 11 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2} \) см.

\( PF = MF \cdot \sin(30^{\circ}) = 11 \cdot \frac{1}{2} = 5.5 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KTF. \( \angle KTF = 90^{\circ} \). Угол \( \angle KFT = \angle MFP = 30^{\circ} \) (вертикальные углы).

В прямоугольном треугольнике KTF:

\( KT = KF \cdot \sin(30^{\circ}) \) и \( TF = KF \cdot \cos(30^{\circ}) \).

Мы знаем, что MK = 22 см. MK = MF + KF.

\( KF = MK - MF = 22 - 11 = 11 \) см.

Теперь найдем KT:

\( KT = KF \cdot \sin(30^{\circ}) = 11 \cdot \frac{1}{2} = 5.5 \) см.

Найдем сумму длин отрезков MP и KT:

\( MP + KT = \frac{11\sqrt{3}}{2} + 5.5 = \frac{11\sqrt{3}}{2} + \frac{11}{2} = \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{2} \) см.

Ответ: \( \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{2} \) см.