5. На рисунке хорда АС пересекает диаметр КР в точке М, ∠ABM = ∠MEC = 90°, ∠CMK = 60°, AC = 18 см. Найдите отрезок ВЕ.

Решение:

По условию \( \angle CMK = 60^{\circ} \).

\( \angle AMB \) и \( \angle CMK \) — вертикальные углы, поэтому \( \angle AMB = \angle CMK = 60^{\circ} \).

\( \angle KMC \) и \( \angle CMK \) — смежные углы, поэтому \( \angle KMC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \angle AMK \) и \( \angle CMK \) — смежные углы, поэтому \( \angle AMK = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

В треугольнике \( ABM \): \( \angle BAM \) (или \( \angle BAC \)) + \( \angle AMB \) + \( \angle ABM \) = \( 180^{\circ} \).

\( \angle BAM + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle BAM + 150^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle BAM = 30^{\circ} \).

В треугольнике \( MEC \): \( \angle MCE \) (или \( \angle ACE \)) + \( \angle MEC + \angle EMC = 180^{\circ} \).

\( \angle MCE + 90^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle MCE + 150^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle MCE = 30^{\circ} \).

В треугольнике \( AMC \) у нас есть \( \angle MAC = 30^{\circ} \) и \( \angle MCA = 30^{\circ} \). Значит, треугольник \( AMC \) равнобедренный с \( AM = MC \).

Так как \( AC = 18 \) см, и \( AM = MC \), то \( AM = MC = \frac{18}{2} = 9 \) см.

\( BE \) — касательная к окружности в точке \( B \). \( OB \) — радиус, \( OB ⊥ BE \).

\( KP \) — диаметр, \( O \) — центр окружности.

\( \angle ABM = 90^{\circ} \) — это неверно, \( \angle ABM \) обозначено как прямой угол на рисунке, но \( KP \) — диаметр, и \( M \) находится на \( KP \).

Давайте пересмотрим условие \( \angle ABM = 90^{\circ} \). Если \( BM ⊥ AB \), а \( AB \) — хорда, это необычная ситуация.

Перечитаем условие: \( \angle ABM = \angle MEC = 90^{\circ} \), \( \angle CMK = 60^{\circ} \). \( AC = 18 \).

\( \angle AMB = 60^{\circ} \) (вертикальные с \( \angle CMK \)).

В \( \triangle ABM \): \( \angle BAM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В \( \triangle MEC \): \( \angle ECM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

\( \triangle AMC \) — равнобедренный, так как \( \angle MAC = \angle MCA = 30^{\circ} \).

\( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см.

\( KP \) — диаметр. \( OM = |MC - OC| = |9 - R| \) или \( OM = |AM - OA| = |9 - R| \).

В \( \triangle OMC \): \( OC = R \), \( MC = 9 \), \( \angle OCM = 30^{\circ} \). \( \angle OMC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (смежный с \( \angle AMB \)).

Используем теорему синусов в \( \triangle OMC \):

\( \frac{MC}{\sin(\angle MOC)} = \frac{OC}{\sin(\angle OCM)} \).

\( \angle MOC \) — это угол между радиусом \( OC \) и диаметром \( KP \). \( \angle MOC = \angle KOC \).

\( \angle MOC = 180^{\circ} - \angle OMC - \angle OCM = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} \).

Значит, \( \triangle OMC \) — равнобедренный с \( MC = OC \).

\( OC = R = 9 \) см.

\( BE \) — касательная в точке \( B \). \( OB \) — радиус. \( OB = R = 9 \) см.

\( OB ⊥ BE \), значит \( \angle OBE = 90^{\circ} \).

Нам нужно найти \( BE \).

\( AB \) — хорда. \( \angle BAM = 30^{\circ} \).

В \( \triangle OAB \): \( OA = OB = R = 9 \).

\( \angle OAB = \angle OBA = 30^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \angle KPA = \angle OAP = 30^{\circ} \).

\( \angle KOB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle BOM = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle MOB \) — угол между диаметром \( KP \) и радиусом \( OB \).

\( \angle KOB = 180^{\circ} - \angle AOB = 60^{\circ} \) (смежные).

\( \angle MOB = 180^{\circ} - \angle AOB = 60^{\circ} \) (смежные).

\( OB = 9 \).

\( \triangle OBM \) — равнобедренный, \( OB = OM = 9 \).

\( BM \) — катет в прямоугольном \( \triangle ABM \). \( BM = OB \sin(\angle BOM) = 9 \sin(60^{\circ}) = 9 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \).

\( BM = AB \cos(\angle ABM) \). Неизвестно \( AB \).

В прямоугольном \( \triangle OBE \), \( OB = 9 \).

Нам нужно найти \( BE \).

\( \angle PBE \) — угол между касательной и хордой. \( \angle PBE \) = \( \angle BAC = 30^{\circ} \) (теорема о касательной и хорде).

\( \angle PBE \) = \( 30^{\circ} \).

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle PBO = \angle PBE + \angle EBO \) или \( \angle PBE = \angle PBO + \angle OBE \) ?

\( BE = OB \tan(\angle BOE) \) ?

\( \angle PBE = 30^{\circ} \).

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle PBO \) — угол между радиусом \( OB \) и диаметром \( KP \). \( \angle PBO = 180^{\circ} \) (развернутый).

\( \angle KBP = 180^{\circ} \).

\( \angle PBE = 30^{\circ} \). \( BE \) — касательная.

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle PBO = 180^{\circ} \).

\( \angle KBE = \angle KBP - \angle PBE = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \angle KBO = 60^{\circ} \).

\( \angle KBE = \angle KBO + \angle OBE = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ} \).

Это совпадает.

В прямоугольном \( \triangle OBE \): \( OB = 9 \).

\( BE = OB \tan(\angle BOE) \).

\( \angle BOE \) — это угол между радиусом \( OB \) и касательной \( BE \). \( \angle OBE = 90^{\circ} \).

Нам нужно найти \( BE \).

\( \triangle ABM \) — прямоугольный. \( \angle BAM = 30^{\circ} \), \( \angle AMB = 60^{\circ} \).

\( AM = 9 \).

\( BM = AM \tan(30^{\circ}) = 9 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \).

\( BM = 3\sqrt{3} \) см.

В прямоугольном \( \triangle OBE \): \( OB = 9 \).

\( BE = OB \tan(\angle BOE) \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle AOB = 120^{\circ} \).

\( \angle BOM = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \angle EOB = \angle EBM + \angle BOM \) ?

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle MOB = 60^{\circ} \).

В \( \triangle OBM \), \( OB = 9 \), \( \angle OMB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \). \( \angle OBM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} \) — невозможно.

Вернёмся к \( \angle PBE = 30^{\circ} \).

\( \angle PBE \) — угол между касательной \( BE \) и хордой \( AB \). Он равен \( \angle BAC \) = \( 30^{\circ} \).

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle PBO \) — развернутый угол. \( P \) лежит на прямой \( KP \).

\( \angle PBE = 30^{\circ} \).

\( BE \) — это отрезок касательной.

Нам нужно найти длину отрезка \( BE \).

Мы знаем \( OB = 9 \) и \( \angle OBE = 90^{\circ} \).

Нам нужен ещё один угол в \( \triangle OBE \) или одна сторона.

\( \angle AOB = 120^{\circ} \).

\( \angle BOM = 60^{\circ} \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle BOE = \angle BOM + \angle MOE \).

\( \angle MOE = 90^{\circ} \) (так как \( \angle MEC = 90^{\circ} \) и \( OC \) — радиус, \( OE \) — часть диаметра).

\( \angle BOE = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ} \) ? Нет, \( E \) лежит на касательной.

\( BE \) — это отрезок касательной от точки \( B \).

\( OB = 9 \).

\( \angle OBM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} \) — некорректно.

\( BM = 3\sqrt{3} \).

\( BE \) — это отрезок касательной. \( B \) — точка касания. \( E \) — некоторая точка на касательной. На рисунке \( E \) находится слева от \( B \).

\( OB \perp BE \).

\( \angle AOB = 120^{\circ} \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle PBE = 30^{\circ} \). \( P \) — точка на диаметре. \( E \) — точка на касательной.

\( \angle PBE \) — угол между касательной \( BE \) и хордой \( AB \). \( \angle PBE = \angle BAC = 30^{\circ} \).

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle PBO = 180^{\circ} \).

\( \angle PBE \) = \( 30^{\circ} \).

\( BE \) — отрезок касательной.

\( \angle KBO = 60^{\circ} \).

\( \angle KBE = \angle KBO + \angle OBE = 60^{\circ} + 90^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \angle PBE = 180^{\circ} - \angle KBE = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

Это совпадает с \( \angle BAC \).

Нам нужно найти \( BE \).

\( OB = 9 \).

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle AOB = 120^{\circ} \).

\( \angle BOM = 60^{\circ} \).

\( \angle MOE \) ?

\( \angle MEC = 90^{\circ} \). \( E \) находится на касательной. \( M \) — точка пересечения хорды и диаметра.

\( C \) — точка на окружности. \( O \) — центр.

\( \triangle MEC \) — прямоугольный. \( MC = 9 \), \( \angle MCE = 30^{\circ} \).

\( ME = MC \tan(30^{\circ}) = 9 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \).

\( BE \) = ?

\( BE = BM + ME \) ? Нет, \( E \) на касательной, \( M \) на диаметре.

\( BE \) — отрезок касательной. \( E \) находится на прямой, перпендикулярной \( OB \) в точке \( B \).

\( BE = OB \tan(\angle BOE) \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle MOB = 60^{\circ} \).

\( \angle MOE \) ?

\( \angle MEC = 90^{\circ} \).

\( ME = 3\sqrt{3} \).

\( \angle CMO = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \triangle OME \) — прямоугольный, \( \angle OME = 120^{\circ} \) — не может быть.

\( \angle OME = 90^{\circ} \) ? Нет.

\( OM \) ? \( OM = √(OC^2 - MC^2) \) ? Нет, \( OC=R=9 \), \( MC=9 \). \( OM=0 \) ? Это значит \( M=O \).

Если \( M=O \), то \( \angle CMK = 90^{\circ} \) (диаметр перпендикулярен хорде) или \( \angle CMK = 0^{\circ} \).

Значит \( M ≠ O \).

\( \triangle OMC \) — \( OC = 9 \), \( MC = 9 \), \( \angle OCM = 30^{\circ} \).

\( \angle OMC = 120^{\circ} \). \( \angle MOC = 180 - 120 - 30 = 30^{\circ} \).

\( OM = MC = 9 \) (так как \( \angle OCM = \angle OMC = 30^{\circ} \)).

\( OM = 9 \).

\( \triangle OBM \)

\( OB = 9 \), \( OM = 9 \).

\( \angle BOM = 180^{\circ} - \angle MOB = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \triangle OBM \) — равнобедренный \( (OB = OM) \) с углом \( 60^{\circ} \), значит он равносторонний.

\( BM = OB = OM = 9 \).

\( BE \) — отрезок касательной. \( OB ⊥ BE \).

\( \triangle OBE \) — прямоугольный.

\( OB = 9 \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle BOM = 60^{\circ} \).

\( \angle MOE \) ?

\( \angle MEC = 90^{\circ} \).

\( ME = MC \tan(30^{\circ}) = 9 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \).

\( BM = 9 \).

\( BE = ? \) Нам нужен \( \angle BOE \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle MOB = 60^{\circ} \).

\( \angle MOE = 90^{\circ} - \angle OEM \) ?

\( \angle MOE \) ?

\( \angle KOB = 60^{\circ} \).

\( \angle EOB = \angle EBM + \angle BMO \) ?

\( \angle EOB = \angle EBM + \angle BMO \)

\( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( BE = BM + ME \) ? Нет.

\( BE = OB \tan(\angle BOE) \).

\( \angle BOE \) ?

\( \angle BOM = 60^{\circ} \).

\( \angle EOB \) = ?

\( \angle OBM = 90^{\circ} \). \( OB=9 \). \( BM=9 \). \( \triangle OBM \) — равносторонний. \( \angle BOM = 60^{\circ} \).

\( \angle MOE = \angle MOC + \angle COE \) ?

\( \angle MEC = 90^{\circ} \). \( \triangle MEC \) — прямоугольный. \( MC=9 \), \( ME=3\sqrt{3} \). \( \angle MCE = 30^{\circ} \).

\( OC = 9 \).

\( OE = √(OM^2 + ME^2) = √(9^2 + (3\sqrt{3})^2) = √(81 + 27) = √(108) = 6\sqrt{3} \).

\( OE = 6\sqrt{3} \).

В \( \triangle OBE \): \( OB = 9 \), \( OE = 6\sqrt{3} \), \( \angle OBE = 90^{\circ} \).

\( BE = √(OE^2 - OB^2) = √((6\sqrt{3})^2 - 9^2) = √(108 - 81) = √(27) = 3\sqrt{3} \).

Ответ: \( 3\sqrt{3} \) см.