4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7:5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68.

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону в отношении 7:5 (от вершины).
• Периметр = 68.

Найти: Стороны треугольника.

Решение:

1. Пусть основание треугольника равно \( b \), а боковые стороны равны \( a \).
2. Пусть точка касания делит боковую сторону в отношении 7:5, считая от вершины. Тогда отрезки от вершины до точки касания равны \( 7x \) и \( 5x \).
3. Так как боковые стороны равны, то \( a = 7x + 5x = 12x \).
4. Пусть основание треугольника касается окружности в точке, которая делит его на отрезки \( y \) и \( y \) (так как треугольник равнобедренный, точка касания находится посередине основания).
5. Из свойств касательных, отрезки от вершины, где сходятся две боковые стороны, до точек касания равны: \( 7x \).
6. Значит, \( y = 7x \).
7. Тогда основание \( b = 2y = 2 imes 7x = 14x \).
8. Периметр треугольника: \( P = 2a + b \)
9. \( 68 = 2(12x) + 14x \)
10. \( 68 = 24x + 14x \)
11. \( 68 = 38x \)
12. \( x = \frac{68}{38} = \frac{34}{19} \)
13. Длина боковой стороны: \( a = 12x = 12 imes \frac{34}{19} = \frac{408}{19} \)
14. Длина основания: \( b = 14x = 14 imes \frac{34}{19} = \frac{476}{19} \)

Ответ: Боковые стороны равны \(\frac{408}{19}\) см, основание равно \(\frac{476}{19}\) см.