5. На рис. 125 AD = BD = CD, ∠ADB = 144°. Найдите углы треугольника ABC.

Решение:

По условию AD = BD = CD. Это означает, что точка D является центром окружности, проходящей через точки A, B и C. Следовательно, AD, BD и CD — радиусы этой окружности.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как AD = BD, то этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle DAB = \angle DBA = \frac{180° - \angle ADB}{2} = \frac{180° - 144°}{2} = \frac{36°}{2} = 18° \)

Теперь рассмотрим треугольник BDC. Так как BD = CD, то этот треугольник равнобедренный. Угол ∠ADB является внешним углом для треугольника BDC при вершине D. Однако, мы можем найти ∠BDC. ∠ADB и ∠BDC являются смежными, если A, D, C лежат на одной прямой, что не показано.

Вместо этого, заметим, что ∠BDC — это центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол ∠BAC — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу BC. Связь между ними: \( \angle BDC = 2 \angle BAC \).

Также, ∠ADB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Связь между ними: \( \angle ADB = 2 \angle ACB \).

Из условия \( \angle ADB = 144° \), следовательно, \( \angle ACB = \frac{144°}{2} = 72° \).

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Так как AD = CD, то треугольник равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle CAD = \angle ACD = \frac{180° - \angle ADC}{2} \).

Мы не знаем \( \angle ADC \).

Давайте найдем \( \angle BDC \). Углы \( \angle ADB \) и \( \angle BDC \) вместе составляют развернутый угол, если A, D, C лежат на одной прямой, что не очевидно. Но если мы предположим, что A, D, C лежат на одной прямой, то \( \angle BDC = 180° - 144° = 36° \). В этом случае \( \angle BAC = \frac{36°}{2} = 18° \).

Тогда \( \angle ABC \) = \( \angle ABD + \angle DBC \).

В равнобедренном треугольнике BDC (BD = CD), \( \angle DBC = \angle DCB = \frac{180° - \angle BDC}{2} = \frac{180° - 36°}{2} = \frac{144°}{2} = 72° \).

Тогда \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 18° + 72° = 90° \).

Проверим сумму углов треугольника ABC: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 18° + 90° + 72° = 180° \). Это верно.

Ответ: \( \angle BAC = 18°, \angle ABC = 90°, \angle ACB = 72° \).