5) На двух поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в ОТК. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй. Первая поточная линия в среднем производит 70% изделий первого сорта, а вторая — 90%. Наудачу взятое ОТК на проверку изделие оказалось первого сорта. Найдите вероятность того, что это изделие произведено на первой поточной линии.

Решение:

Обозначим события:

• A — изделие первого сорта.
• B1 — изделие произведено на первой линии.
• B2 — изделие произведено на второй линии.

Из условия задачи:

• Производительность первой линии вдвое больше второй, значит, доля изделий первой линии равна \( \frac{2}{3} \), а второй — \( \frac{1}{3} \).
• \( P(B1) = \frac{2}{3} \)
• \( P(B2) = \frac{1}{3} \)
• Вероятность изделия первого сорта для первой линии: \( P(A|B1) = 0.70 \)
• Вероятность изделия первого сорта для второй линии: \( P(A|B2) = 0.90 \)

Найдем общую вероятность получения изделия первого сорта (по формуле полной вероятности):

• \( P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) \)
• \( P(A) = (0.70 · \frac{2}{3}) + (0.90 · \frac{1}{3}) \)
• \( P(A) = \frac{1.4}{3} + \frac{0.9}{3} = \frac{2.3}{3} \)

Теперь найдем вероятность того, что изделие произведено на первой линии, при условии, что оно первого сорта (используем формулу Байеса):

• \( P(B1|A) = \frac{P(A|B1)P(B1)}{P(A)} \)
• \( P(B1|A) = \frac{0.70 · \frac{2}{3}}{\frac{2.3}{3}} \)
• \( P(B1|A) = \frac{\frac{1.4}{3}}{\frac{2.3}{3}} = \frac{1.4}{2.3} = \frac{14}{23} \)