2) Решите уравнение \frac{(2n)!}{(2n-3)!} = \frac{40n!}{(n-1)!}.

Решение:

Раскроем факториалы:

• \( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} = (2n)(2n-1)(2n-2) \)
• \( \frac{n!}{(n-1)!} = n \)

Подставляем в уравнение:

• \( (2n)(2n-1)(2n-2) = 40n \)

Разделим обе части на \( 2n \) (при условии, что \( n
eq 0 \)):

• \( (2n-1)(2n-2) = 20 \)
• \( 4n^2 - 4n - 2n + 2 = 20 \)
• \( 4n^2 - 6n - 18 = 0 \)
• \( 2n^2 - 3n - 9 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

• \( D = (-3)^2 - 4(2)(-9) = 9 + 72 = 81 \)
• \( \sqrt{D} = 9 \)
• \( n_1 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)
• \( n_2 = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Так как \( n \) должно быть натуральным числом (из определения факториала), то \( n = 3 \).

Проверим условие \( 2n-3 \ge 0 \), \( n-1 \ge 0 \): \( 2(3)-3 = 3 \ge 0 \), \( 3-1 = 2 \ge 0 \). Условия выполнены.