3) Решите уравнение 7C_{2n-2}^{n-2} = 3C_{2n-1}^{n-1}.

Решение:

Используем формулу сочетаний \( C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} \).

• \( 7 \cdot \frac{(2n-2)!}{(n-2)!( (2n-2) - (n-2) )!} = 3 \cdot \frac{(2n-1)!}{(n-1)!( (2n-1) - (n-1) )!} \)
• \( 7 \cdot \frac{(2n-2)!}{(n-2)!n!} = 3 \cdot \frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!} \)

Сократим \( n! \) в обеих частях:

• \( 7 \cdot \frac{(2n-2)!}{(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(2n-1)!}{(n-1)!} \)

Раскроем факториалы:

• \( (2n-1)! = (2n-1) · (2n-2)! \)
• \( (n-1)! = (n-1) · (n-2)! \)

Подставим и упростим:

• \( 7 \cdot \frac{(2n-2)!}{(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(2n-1) · (2n-2)!}{(n-1) · (n-2)!} \)

Сократим \( \frac{(2n-2)!}{(n-2)!} \) в обеих частях (при условии, что \( 2n-2 ≥ n-2 \), т.е. \( n ≥ 0 \) и \( n-2 ≥ 0 \), т.е. \( n ≥ 2 \)):

• \( 7 = 3 \cdot \frac{2n-1}{n-1} \)
• \( 7(n-1) = 3(2n-1) \)
• \( 7n - 7 = 6n - 3 \)
• \( 7n - 6n = 7 - 3 \)
• \( n = 4 \)

Проверим условия: \( n=4 \) удовлетворяет \( n ≥ 2 \).