5. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278?

Решение:

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник MNP:

\[ \angle NMP + \angle MNP + \angle NPM = 180^{\circ} \]

\[ 24^{\circ} + \angle MNP + 72^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle MNP = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 72^{\circ} \]

\[ \angle MNP = 180^{\circ} - 96^{\circ} \]

\[ \angle MNP = 84^{\circ} \]

Теперь рассмотрим треугольник KNP:

\[ \angle NKP + \angle KPN + \angle PNK = 180^{\circ} \]

\[ 72^{\circ} + 38^{\circ} + \angle PNK = 180^{\circ} \]

\[ \angle PNK = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 38^{\circ} \]

\[ \angle PNK = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \angle PNK = 70^{\circ} \]

Угол \( \angle KPF \) и \( \angle KPN \) — смежные, поэтому \( \angle KPF = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \).

Угол \( \angle MPF \) = ?

Угол \( \angle MNP = 84^{\circ} \). Угол \( \angle KNF = 70^{\circ} \).

Угол \( \angle KNF \) и \( \angle MNP \) — смежные, \( \angle MNP + \angle KNF = 84^{\circ} + 70^{\circ} = 154^{\circ} \). Это неверно.

Угол \( \angle KNF \) и \( \angle KNM \) — смежные. \( \angle KNM = 180^{\circ} - \angle PNK = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).

Угол \( \angle MNP = 84^{\circ} \).

Угол \( \angle KNF \) и \( \angle MNP \) — вертикальные. Значит \( \angle KNF = \angle MNP = 84^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник KPF. Мы знаем \( \angle PKF = 72^{\circ} \) и \( \angle KPF = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \). Это неверно, \( \angle KPF \) не является углом треугольника.

Рассмотрим треугольник KPF. Угол \( \angle PKF = 72^{\circ} \) (часть угла \( \angle NKP \)). Угол \( \angle KPF \) = ?

Угол \( \angle KPN = 38^{\circ} \). Угол \( \angle NPF = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ} \). Это тоже неверно.

Углы \( \angle MNP \) и \( \angle KNF \) — вертикальные, значит \( \angle MNP = \angle KNF = 84^{\circ} \).

Угол \( \angle PNK = 70^{\circ} \). Угол \( \angle MNP = 84^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник KPF. Угол \( \angle PKF = 72^{\circ} \). Угол \( \angle KPF = 38^{\circ} \). Угол \( \angle F \) = ?

Сумма углов в \( \triangle KPF \) = \( 180^{\circ} \).

\[ \angle F = 180^{\circ} - \angle PKF - \angle KPF \]

\[ \angle F = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 38^{\circ} \]

\[ \angle F = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \angle F = 70^{\circ} \]

Ответ: \( 70^{\circ} \).