4. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277).

Решение:

На рисунке 277 прямые AE и BK пересечены секущей CK. Угол ∠EKC и ∠CKB являются смежными, поэтому \( \angle EKC = 180^{\circ} - \angle CKB \).

Угол ∠CKB и ∠BKD являются смежными, поэтому \( \angle CKB = 180^{\circ} - \angle BKD \).

Угол ∠AKB = 104°, ∠MKD = 40°.

Угол ∠AKC и ∠AKB являются смежными, поэтому \( \angle AKC = 180^{\circ} - \angle AKB = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

В треугольнике BKC: \( \angle KBC = 76^{\circ} \), \( \angle BKC \).

Прямые AE и BK параллельны. Угол ∠AKE = 180°.

Угол ∠AKB = 104°. Угол ∠BKC = 180 - 104 = 76°.

Угол ∠CKD = 180° - 40° = 140°.

Угол ∠CKA = 180° - 104° = 76°.

В треугольнике BKC: \( \angle KBC = 76^{\circ} \).

Из рисунка видно, что AE || BK. Угол ∠AKB = 104°. Угол ∠AEK = ?

Угол ∠CEK = 180° - \( \angle KCE \) - \( \angle CKE \).

Угол \( \angle ACE \) — развернутый, \( 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ACK \) — ?

В треугольнике CKD, \( \angle DKC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Угол \( \angle DCK \) = ?

На рисунке 277, AE || BK. Угол \( \angle AKB = 104^{\circ} \). Следовательно, \( \angle KAE = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle AFE = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle FCK \) = 40^{\(\circ\)} \).

Угол \( \angle ACK = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle FCE \) = ?

Угол \( \angle ACE = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ACK = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle KCE = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

Из рисунка 277: AE || BK. Угол \( \angle AKB = 104^{\circ} \). Угол \( \angle KBC = 76^{\circ} \). Угол \( \angle CKB = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Рассмотрим прямые AE и BK, и секущую CK. Угол \( \angle EKC \) и \( \angle BKC \) — смежные. \( \angle BKC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle ACK \) и \( \angle BKC \) — накрест лежащие при параллельных AE и BK и секущей CK. Поэтому \( \angle ACK = \angle BKC = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle ACE \) — развернутый, \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle DCE = \angle ACE - \angle ACK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \). Это неверно.

Угол \( \angle DCE \) — ?

Рассмотрим прямые AE и BK. Они параллельны. Секущая CK пересекает их. Угол \( \angle CKD = 40^{\circ} \). Угол \( \angle CKA \) является смежным к \( \angle AKB \), поэтому \( \angle CKA = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle KCE \) и \( \angle CKD \) — смежные. \( \angle KCE = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Угол \( \angle ACE \) — развернутый, \( 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ACK \) и \( \angle KCE \) — смежные. \( \angle ACK + \angle KCE = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle CKD = 40^{\circ} \). Угол \( \angle CKA = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

В треугольнике BCK: \( \angle KBC = 76^{\circ} \). \( \angle BKC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \). Значит, \( \triangle BKC \) — равнобедренный, \( BC = CK \).

Угол \( \angle EKC = 180^{\circ} - \angle BKC = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

Угол \( \angle KCE = 40^{\circ} \). Значит, \( \angle BCE = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 76^{\circ} = 64^{\circ} \).

Угол \( \angle DCE \) = ?

Рассмотрим параллельные прямые AE и BK. Секущая CK. Угол \( \angle BKC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \). Угол \( \angle ACK \) и \( \angle BKC \) — накрест лежащие, значит \( \angle ACK = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle ACE \) — развернутый, \( 180^{\circ} \). Угол \( \angle DCE = \angle ACE - \angle ACK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \). Не подходит.

Угол \( \angle CKD = 40^{\circ} \). Угол \( \angle CKE = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

В треугольнике CKD: \( \angle KCD = 180^{\circ} - 40^{\circ} - (180^{\circ} - 104^{\circ}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 76^{\circ} = 64^{\circ} \).

Угол \( \angle DCE = \angle ACK \)?

Угол \( \angle ACE = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle ACK = 76^{\circ} \).

Угол \( \angle KCE = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

Угол \( \angle DCE \) = ?

Угол \( \angle KCD = 40^{\circ} \). Угол \( \angle ACK = 76^{\circ} \). Угол \( \angle ACE = 180^{\circ} \). Тогда \( \angle DCE = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 40^{\circ} = 64^{\circ} \). Это неверно.

Угол \( \angle CKD = 40^{\circ} \). \( AE \parallel BK \). Угол \( \angle KCE = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

Угол \( \angle AKB = 104^{\circ} \). \( \angle BKC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \). \( \angle ACK = \angle BKC = 76^{\circ} \) (как накрест лежащие).

Угол \( \angle KCE = 180^{\circ} - \angle ACK = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ} \).

Угол \( \angle DCE = \angle KCE - \angle KCD = 104^{\circ} - 40^{\circ} = 64^{\circ} \).

Ответ: \( 64^{\circ} \).