5. Как изменятся длина окружности и площадь круга, если их радиус увеличить в 2 раза; уменьшить в 5 раз; увеличить в 12 1/2 раза?

5. Изменение длины окружности и площади круга при изменении радиуса

Решение:

Обозначим первоначальный радиус как $$r$$, длину окружности как $$C$$, а площадь круга как $$S$$. Формулы: $$C = 2\pi r$$ $$S = \pi r^2$$

Случай 1: Радиус увеличить в 2 раза.

• Новый радиус: $$r_1 = 2r$$.
• Новая длина окружности: $$C_1 = 2\pi r_1 = 2\pi (2r) = 2 \cdot (2\pi r) = 2C$$. Длина окружности увеличится в 2 раза.
• Новая площадь круга: $$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (2r)^2 = \pi (4r^2) = 4(\pi r^2) = 4S$$. Площадь круга увеличится в $$2^2 = 4$$ раза.

Случай 2: Радиус уменьшить в 5 раз.

• Новый радиус: $$r_2 = \frac{r}{5}$$.
• Новая длина окружности: $$C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (\frac{r}{5}) = \frac{1}{5}(2\pi r) = \frac{1}{5}C$$. Длина окружности уменьшится в 5 раз.
• Новая площадь круга: $$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (\frac{r}{5})^2 = \pi (\frac{r^2}{25}) = \frac{1}{25}(\pi r^2) = \frac{1}{25}S$$. Площадь круга уменьшится в $$5^2 = 25$$ раз.

Случай 3: Радиус увеличить в $$12\frac{1}{2}$$ раза.

• Представим $$12\frac{1}{2}$$ в виде неправильной дроби: $$12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$$.
• Новый радиус: $$r_3 = \frac{25}{2}r$$.
• Новая длина окружности: $$C_3 = 2\pi r_3 = 2\pi (\frac{25}{2}r) = \frac{25}{2}(2\pi r) = \frac{25}{2}C$$. Длина окружности увеличится в $$\frac{25}{2}$$ раза.
• Новая площадь круга: $$S_3 = \pi r_3^2 = \pi (\frac{25}{2}r)^2 = \pi (\frac{625}{4}r^2) = \frac{625}{4}(\pi r^2) = \frac{625}{4}S$$. Площадь круга увеличится в $$(\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4}$$ раза.

Ответ:

• Если радиус увеличить в 2 раза: длина окружности увеличится в 2 раза, площадь круга — в 4 раза.
• Если радиус уменьшить в 5 раз: длина окружности уменьшится в 5 раз, площадь круга — в 25 раз.
• Если радиус увеличить в $$12\frac{1}{2}$$ раза: длина окружности увеличится в $$12\frac{1}{2}$$ раза, площадь круга — в $$(\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4}$$ раза.