5. Из точки Е окружности опущен перпендикуляр ЕК на её диаметр DF. DE = 2√2 см. Найдите радиус окружности, если отрезок KF на 6 см больше отрезка DK.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус окружности. Тогда диаметр \( DF = 2r \).

По условию, \( KF = DK + 6 \).

Также, \( DF = DK + KF \).

Подставляем \( KF \):

\( DF = DK + (DK + 6) \)

\( DF = 2DK + 6 \).

Так как \( DF = 2r \), то \( 2r = 2DK + 6 \), откуда \( r = DK + 3 \). Значит, \( DK = r - 3 \).

Тогда \( KF = (r - 3) + 6 = r + 3 \).

В прямоугольном треугольнике \( DE F \) (так как \( \angle DEF = 90^{\circ} \) как вписанный угол, опирающийся на диаметр), \( EK \) — высота, проведённая к гипотенузе.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла:

\( EK^2 = DK \cdot KF \).

Также, в прямоугольном треугольнике \( DEK \) (так как \( EK ⊥ DF \)):

\( DE^2 = EK^2 + DK^2 \).

Подставляем \( EK^2 = DK \cdot KF \) в последнее уравнение:

\( DE^2 = DK \cdot KF + DK^2 \).

Подставляем известные значения \( DE = 2\sqrt{2} \), \( DK = r - 3 \) и \( KF = r + 3 \):

\( (2\sqrt{2})^2 = (r - 3)(r + 3) + (r - 3)^2 \)

\( 8 = (r^2 - 9) + (r^2 - 6r + 9) \)

\( 8 = r^2 - 9 + r^2 - 6r + 9 \)

\( 8 = 2r^2 - 6r \)

Разделим всё на 2:

\( 4 = r^2 - 3r \)

\( r^2 - 3r - 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( r \). Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \).

\( r_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)

\( r_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)

Так как радиус не может быть отрицательным, \( r = 4 \) см.

Проверим условия: \( DK = r - 3 = 4 - 3 = 1 \) см. \( KF = r + 3 = 4 + 3 = 7 \) см. \( KF = DK + 6 \) (7 = 1 + 6), что верно.

Ответ: 4 см.