4. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольная трапеция с основаниями \( BC = 12 \) см и \( AD = 18 \) см. Пусть \( AB \) — высота, перпендикулярная основаниям.

Диагональ \( AC \) является биссектрисой острого угла \( \angle BAD \).

Так как \( BC –– AD \), то \( \angle BCA = \angle CAD \) как накрест лежащие углы при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \).

Так как \( AC \) — биссектриса \( \angle BAD \), то \( \angle BAC = \angle CAD \).

Следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \). Это означает, что треугольник \( ABC \) равнобедренный, и \( AB = BC = 12 \) см.

Высота трапеции \( AB = 12 \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \)

где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

\( S = \frac{18 + 12}{2} \cdot 12 \)

\( S = \frac{30}{2} \cdot 12 \)

\( S = 15 \cdot 12 \)

\( S = 180 \) см².

Ответ: 180 см².