5. Из посёлка на станцию, расстояние между которыми 32км, выехал велосипедист. Через 0,5ч навстречу ему со станции выехал мотоциклист и встретил велосипедиста через 0,5ч после своего выезда. Известно, что скорость мотоциклиста на 28км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

Решение:

Пусть \( v_в \) — скорость велосипедиста (км/ч), а \( v_м \) — скорость мотоциклиста (км/ч).

Из условия известно, что \( v_м = v_в + 28 \).

Велосипедист ехал \( 0.5 \) часа до выезда мотоциклиста. Расстояние, которое он проехал за это время:

\( S_в1 = v_в \cdot 0.5 \)

Мотоциклист выехал навстречу. Они встретились через \( 0.5 \) часа после выезда мотоциклиста. За это время:

Расстояние, которое проехал велосипедист: \( S_в2 = v_в \cdot 0.5 \)

Расстояние, которое проехал мотоциклист: \( S_м = v_м \cdot 0.5 \)

Общее расстояние между посёлком и станцией равно \( 32 \) км. Полное расстояние, пройденное велосипедистом до встречи, равно сумме расстояний, пройденных им до выезда мотоциклиста и после:

\( S_в = S_в1 + S_в2 = 0.5v_в + 0.5v_в = v_в \)

Сумма расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом до момента встречи, равна общему расстоянию:

\( S_в + S_м = 32 \)

\( v_в + v_м \cdot 0.5 = 32 \)

Подставим \( v_м = v_в + 28 \) в уравнение:

\( v_в + (v_в + 28) \cdot 0.5 = 32 \)

\( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \)

\( 1.5v_в = 32 - 14 \)

\( 1.5v_в = 18 \)

\( v_в = \frac{18}{1.5} = \frac{180}{15} = 12 \)

Теперь найдем скорость мотоциклиста:

\( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \)

Проверим:

Велосипедист проехал \( 12 \) км до выезда мотоциклиста. Затем велосипедист и мотоциклист ехали \( 0.5 \) часа. Велосипедист проехал \( 12 \cdot 0.5 = 6 \) км. Мотоциклист проехал \( 40 \cdot 0.5 = 20 \) км. Общее расстояние: \( 12 + 6 + 20 = 38 \) км. Это не совпадает с \( 32 \) км.

Пересмотрим условие:

Велосипедист выехал первым. Через 0,5 ч он проехал \( 0.5v_в \) км. В этот момент из станции навстречу выехал мотоциклист. Они встретились через 0,5 ч после выезда мотоциклиста. Значит, общее время движения велосипедиста до встречи составило \( 0.5 + 0.5 = 1 \) час. Общее время движения мотоциклиста до встречи составило \( 0.5 \) часа.

Расстояние, пройденное велосипедистом: \( S_в = v_в \times 1 \)

Расстояние, пройденное мотоциклистом: \( S_м = v_м \times 0.5 \)

Сумма расстояний равна 32 км:

\( v_в \times 1 + v_м \times 0.5 = 32 \)

Подставим \( v_м = v_в + 28 \):

\( v_в + (v_в + 28) \times 0.5 = 32 \)

\( v_в + 0.5v_в + 14 = 32 \)

\( 1.5v_в = 32 - 14 \)

\( 1.5v_в = 18 \)

\( v_в = \frac{18}{1.5} = 12 \) км/ч

Скорость мотоциклиста:

\( v_м = v_в + 28 = 12 + 28 = 40 \) км/ч

Проверим:

Велосипедист ехал 1 час со скоростью 12 км/ч, проехал \( 12 \times 1 = 12 \) км.

Мотоциклист ехал 0,5 часа со скоростью 40 км/ч, проехал \( 40 \times 0.5 = 20 \) км.

Общее расстояние: \( 12 + 20 = 32 \) км. Верно.

Ответ: Скорость велосипедиста — 12 км/ч, скорость мотоциклиста — 40 км/ч.