5. Используя график, сравнить числа:

Решение:

Для сравнения значений синуса и косинуса на заданных промежутках, построим единичную окружность и рассмотрим соответствующие углы.

1) \( \sin \frac{3\pi}{5} \) и \( \cos \frac{\pi}{5} \)

• Угол \( \frac{3\pi}{5} \) находится во II четверти, где синус положителен.
• Угол \( \frac{\pi}{5} \) находится в I четверти, где косинус положителен.
• Используем тригонометрическое тождество: \( \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \).
• Тогда \( \cos \frac{\pi}{5} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \sin(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \sin(\frac{3\pi}{10}) \).
• Сравниваем \( \sin \frac{3\pi}{5} \) и \( \sin \frac{3\pi}{10} \).
• Так как \( \frac{3\pi}{5} = \frac{6\pi}{10} \) и \( \frac{6\pi}{10} > \frac{3\pi}{10} \), а функция \( \sin x \) возрастает на промежутке \( [0; \frac{\pi}{2}] \), то \( \sin \frac{6\pi}{10} > \sin \frac{3\pi}{10} \).
• Следовательно, \( \sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5} \).

2) \( \sin \frac{\pi}{9} \) и \( \cos \frac{\pi}{9} \)

• Оба угла \( \frac{\pi}{9} \) находятся в I четверти.
• Используем тождество \( \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \).
• \( \cos \frac{\pi}{9} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}) = \sin(\frac{9\pi - 2\pi}{18}) = \sin(\frac{7\pi}{18}) \).
• Сравниваем \( \sin \frac{\pi}{9} \) и \( \sin \frac{7\pi}{18} \).
• Так как \( \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18} \) и \( \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} < \frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{9\pi}{18} \)), а функция \( \sin x \) возрастает на промежутке \( [0; \frac{\pi}{2}] \), то \( \sin \frac{2\pi}{18} < \sin \frac{7\pi}{18} \).
• Следовательно, \( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \).

Ответ: 1) \( \sin \frac{3\pi}{5} > \cos \frac{\pi}{5} \) 2) \( \sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9} \)