5. Грани DAC и DBC пирамиды DABC перпендикулярны плоскости основания. Найдите объём пирамиды, если АВ = 11 см, ВС=25 см, АС=30 см, а расстояние от вершины D до прямой АВ равно 26 см.

Решение:

Объём пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( H \) — высота пирамиды.

1. Так как грани \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны плоскости основания \( ABC \), то точка \( D \) лежит на линии пересечения этих граней, которая является прямой \( DC \).
2. Поскольку \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны основанию, то высота пирамиды \( H \) будет равна высоте грани \( DAC \) (или \( DBC \)) относительно основания \( AC \) (или \( BC \)).
3. Рассмотрим основание \( ABC \). Это треугольник со сторонами \( a = 25 \text{ см} \), \( b = 30 \text{ см} \), \( c = 11 \text{ см} \).
4. Найдем площадь основания \( S_{\text{осн}} \) по формуле Герона. Полупериметр \( p = \frac{11 + 25 + 30}{2} = \frac{66}{2} = 33 \text{ см} \).
5. \( S_{\text{осн}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{33(33-25)(33-30)(33-11)} = \sqrt{33 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 22} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3 \cdot (2 \cdot 11)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 3 \cdot 11 = 132 \text{ см}^2 \).
6. Расстояние от вершины \( D \) до прямой \( AB \) равно 26 см. Так как грани \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны основанию, то высота пирамиды \( H \) — это перпендикуляр, опущенный из \( D \) на плоскость \( ABC \).
7. В данном случае, если грани \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны основанию \( ABC \), то их линия пересечения \( DC \) будет перпендикулярна основанию. То есть \( DC \) является высотой пирамиды.
8. Однако, условие гласит, что грани \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны основанию. Это значит, что высота пирамиды \( H \) — это высота, проведенная из \( D \) на плоскость \( ABC \).
9. Если \( DAC \) и \( DBC \) перпендикулярны \( ABC \), то \( DC \) является высотой пирамиды.
10. Расстояние от \( D \) до \( AB \) равно 26 см.
11. Если \( DC \) - высота, то \( DC = 26 \text{ см} \).
12. Тогда объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 132 \text{ см}^2 \cdot 26 \text{ см} = 44 \cdot 26 = 1144 \text{ см}^3 \).

Ответ: 1144 см³.