3. Найдите объём правильной усеченной четырёхугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 4 см и 7 см, а высота — 12 см.

Решение:

Объём усечённой пирамиды находится по формуле \( V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2) \), где \( H \) — высота, \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

1. Основания — квадраты.
2. Площадь нижнего основания \( S_1 = 7^2 = 49 \text{ см}^2 \).
3. Площадь верхнего основания \( S_2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2 \).
4. Высота \( H = 12 \text{ см} \).
5. Найдём объём: \( V = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} \cdot (49 \text{ см}^2 + \sqrt{49 \text{ см}^2 \cdot 16 \text{ см}^2} + 16 \text{ см}^2) \).
6. \( V = 4 \cdot (49 + \sqrt{784} + 16) = 4 \cdot (49 + 28 + 16) = 4 \cdot 93 = 372 \text{ см}^3 \).

Ответ: 372 см³.