1. Основание прямой четырёхугольной призмы — параллелограмм со сторонами 4 см и \(5\sqrt{2}\) см и углом \(45^{\circ}\) между ними. Высота призмы равна 6 см. Найдите объём призмы.

Решение:

Объём призмы находится по формуле \( V = S_{\text{осн}} \cdot H \), где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, а \( H \) — высота призмы.

1. Найдём площадь основания — параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними: \( S_{\text{осн}} = a \cdot b \cdot \sin{\alpha} \).
2. Подставим значения: \( S_{\text{осн}} = 4 \text{ см} \cdot 5\sqrt{2} \text{ см} \cdot \sin{45^{\circ}} \).
3. Так как \( \sin{45^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то \( S_{\text{осн}} = 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20 \cdot \frac{2}{2} = 20 \text{ см}^2 \).
4. Теперь найдём объём призмы: \( V = S_{\text{осн}} \cdot H = 20 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 120 \text{ см}^3 \).

Ответ: 120 см³.