5) \(\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+1}-\frac{1}{x^2+2x+2}=\frac32\)

ОДЗ: \(x^2+2x+1=(x+1)^2
e0\), то есть \(x
e-1\).

Положим \(t=x^2+2x+2\). Тогда \(x^2+2x+1=t-1\), и уравнение принимает вид

\[\frac{t}{t-1}-\frac1t=\frac32,\qquad t
e0,1.\]

Умножим на \(2t(t-1)\):

\[2t^2-2(t-1)=3t(t-1),\]

\[t^2-5t+2=0.\]

\[t=\frac{5\pm\sqrt{17}}2.\]

Так как \(t=(x+1)^2+1\ge1\), подходит только \(t=\frac{5+\\sqrt{17}}2\). Тогда

\[(x+1)^2+1=\frac{5+\sqrt{17}}2,\]

\[x=-1\pm\frac12\sqrt{11+2\sqrt{17}}.\]

Ответ: \(-1-\frac12\sqrt{11+2\sqrt{17}};\ -1+\frac12\sqrt{11+2\sqrt{17}}\).