5. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий угол равен 30°. Докажите.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°.

Пусть катет BC равен половине гипотенузы AB, то есть BC = \( \frac{1}{2} \) AB.

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла ∠A:

sin(A) = \( \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)

По условию, BC = \( \frac{1}{2} \) AB. Подставим это в формулу:

sin(A) = \( \frac{\frac{1}{2} AB}{AB} = \frac{1}{2} \)

Теперь нам нужно найти угол A, синус которого равен \( \frac{1}{2} \).

Из таблицы значений синусов известных углов, мы знаем, что sin(30°) = \( \frac{1}{2} \).

Следовательно, ∠A = 30°.

Ответ: Угол, противолежащий катету, равному половине гипотенузы, действительно равен 30°.